Question

（2009•台州）如图，已知直线y=-x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

Answer

（1）可先根据AB所在直线的解析式求出A，B两点的坐标，即可得出OA、OB的长．过D作DM⊥y轴于M，则△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的长，也就能求出D的坐标，同理可求出C的坐标；
（2）可根据A、C、D三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）要分三种情况进行讨论：
①当F点在A′B′之间时，即当0＜t≤1时，此时S为三角形FBG的面积，可用正方形的速度求出AB′的长，即可求出B′F的长，然后根据∠GFB′的正切值求出B′G的长，即可得出关于S、t的函数关系式．
②当A′在x轴下方，但C′在x轴上方或x轴上时，即当1＜t≤2时，S为梯形A′GB′H的面积，可参照①的方法求出A′G和B′H的长，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高为A′B′即正方形的边长，可根据梯形的面积计算公式得出关于S、t的函数关系式．
③当D′逐渐移动到x轴的过程中，即当2＜t≤3时，此时S为五边形A′B′C′HG的面积，S=正方形A′B′C′D′的面积-三角形GHD′的面积．可据此来列关于S，t的函数关系式；
（4）CE扫过的图形是个平行四边形，经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形BCD′A′的面积．可通过求矩形的面积来求出CE扫过的面积．
【解析】
（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）设抛物线为y=ax2+bx+c，抛物线过（0，1）（3，2）（1，3），

解得，
∴y=-x2+x+1；

（3）①当点A运动到x轴上时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA=，
∴tan∠GFB′=，
∴GB′=t
∴S△FB′G=FB′×GB′
=×t×=t2；
②当点C运动到x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
A′B′=AB=，
∴A′F=t-，
∴A′G=，
∵B′H=，
∴S梯形A′B′HG=（A′G+B′H）×A′B′
==t-；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G=，
∴GD′=，
∵S△AOF=×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴，
∴，
∴S五边形GA′B′C′H=（）2-（
=-t2+t-；

（4）∵t=3，BB′=AA′=3，
∴S阴影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D
=AD×AA′=×3=15．