Question

（2006•湖州）已知Rt△ABC中，∠B=90°．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED．
（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：
△______∽△______；△______≌△______．
并选择其中一对加以证明．

Answer

利用尺规作图，根据相似三角形的判定定理，从图中可看出相似三角形有很多组，再根据全等三角形的判定条件，例如ASA可判断△AHF≌△AHE．
【解析】
（1）如图所示；

（2）相似三角形有：△AHF∽△ABD；△AHE∽△ABD；△DHE∽△ABD；△BDE∽△BCA等．
全等三角形有：△AHF≌△AHE；△AHE≌△DHE；△AHF≌△DHE．
证明：在△AHF和△ABD中
∵FH⊥AD，∴∠AHF=90°
∵∠B=90°，∠CAD为公共角
∴△AHF∽△ABD．