Question

（2010•白云区一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC边上的动点（D不与B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）∠BAD与∠CDE的大小关系为______．请证明你的结论；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（4）是否存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由AB=AC易知△ABC是等腰直角三角形，即∠B=∠C=45°，已知∠ADE=45°，由三角形内角和定理以及平角的定义可得∠BAD、∠CDE都等于180°-45°-∠ADB，由此可证得两角相等．
（2）由（1）的等角，联立∠B=∠C=45°，可证得△DCE∽△ABD，根据相似三角形所得比例线段，即可表示出CE的长，进而由AE=AC-CE求得y、x的函数关系式．
（3）由于D与B、C不重合，显然∠ADE=∠AED=45°不符合题意，即AD≠AE，所以此题分两种情况讨论：
①AD=DE，此时（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的长，进而可得CE、AE的值；
②AE=DE，此时∠DAE=45°，即AD平分∠BAC，由于△BAC是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，同理可证得DE垂直平分AC，即AE为AC长的一半，由此得解．
（4）若△DCE的面积是△ABD面积的2倍，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可知：CE=BD，然后表示出AE的长，代入（2）的函数关系式中，即可求得x的值，若x=0，则说明D、B重合，显然不存在符合条件的x，若x的值符合（2）的自变量取值范围，那么x的值即为所求．
（本小题满分14分）
【解析】
（1）相等；（1分）
证明如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．如图1，
∵∠1+∠B+∠ADB=180°，
∴∠1+∠ADB=180°-∠B=135°．
又∵∠2+∠ADE+∠ADB=180°，
∴∠2+∠ADB=180°-∠ADE（2分）
=180°-45°=135°，
即∠1+∠ADB=∠2+∠ADB，
∴∠1=∠2．（3分）

（2）由（1）知∠1=∠2，又∵∠B=∠C=45°，
∴△DCE∽△ABD．（4分）
若BD=x，则CD=BC-BD=2-x，
由△DCE∽△ABD得，即，
CE=（2-x）x，
=-x2+x，（5分）
y=AE=AC-CE=2-（-x2+x）
∴y=x2-x+2，（6分）
其中0＜x＜2．（7分）

（3）【解析】
∵点D不能与B点重合，∴AD=AE不能成立（8分）
（或：∵∠ADE=45°，若AD=AE，
则∠AED=ADE=45°，从而∠DAE=90°，
即B与D重合，这与已知条件矛盾）．
①当AE、DE为腰，即AE=DE时（如图2），
∠EAD=∠EDA=45°，此时，AD平分∠BAC，
∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），
且E也为AC边的中点，∴AE=1；（9分）
②当AD、DE为腰，即AD=DE时（如图3），
由（1）△ABD∽△DCE知，此时AD与DE为对应边，
∴△ABD≌△DCE，DC=AB=2，
BD=BC-CD=2-2，AE=AC-EC
=2-BD=2-（2-2）=4-2；（10分）
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，
AE的长为1或4-2；（11分）

（4）不存在．（12分）
原因如下：∵△DCE∽△ABD，若△DCE的面积是△ABD面积的2倍，则=2，
从而=，CE=BD，-x2+x=x，
解得x=0，即BD=0，就是说D点与B点重合，（13分）
这与已知条件矛盾，
∴不存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍．（14分）