Question

（2010•萝岗区一模）如图，点P是正方形ABCD内的一点，AP=1，BP=2，CP=3，BP⊥BP′，BP=BP′
（1）求证：∠APB=∠CP′B，PA=P′C；
（2）求∠APB．

Answer

（1）根据正方形的性质及BP⊥BP′求出△ABP≌△CBP′即可；
（2）连接PP′，由已知条件可求出△BPP′是等腰直角三角形，可知∠BP′P=∠BPP′=45°，根据勾股定理可求出PP′的长，由勾股定理的逆定理可判断出△PCP′的形状，进而可求出∠PP′C及∠APB的度数．
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BP⊥BP′，
∴AB=CB，∠ABC=∠PBP′=90°，（2分）
∴∠ABC-∠PBC=∠PBP′-∠PBC（4分）
即∠ABP=∠CBP′，（4分）
又∵BP=BP′，
∴△ABP≌△CBP′，（5分）
∴∠APB=∠CP′B，PA=P′C；（6分）

（2）连接PP′，（7分）
∵BP⊥BP′，BP=BP′=2，
∴∠BP′P=∠BPP′=45°，且P′P=2，（8分）
∵P′C=PA=1，PC=3，PP′=2，
∴（PC）2=P′C2+PP′2，满足勾股定理的逆定理，（10分）
∴∠PP′C=90°，（11分）
∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．（12分）