Question

（2010•萝岗区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
（1）用尺规作图的方法，过B点作∠ABC的平分线交AC于D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC=BD=AD；
（3）求证：AD²=AC•DC；
（4）设=x，求x．

Answer

（1）根据角平分线的方法进行作图；
（2）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得∠ABC=∠ACB=72°，再根据角平分线定义，得∠ABD=∠CBD=36°，根据三角形的外角的性质，得∠BDC=72°，最后根据等角对等边即可证明；
（3）在（2）的基础上，根据两角对应相等证明△BCD∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可得到，结合（2）的结论即可证明；
（4）结合（3）的结论和已知条件可以得到关于x的方程，从而求解．
（1）【解析】
如图，

（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°．
∴∠BDC=72°．
∴BC=BD=AD．

（3）证明：∵∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴，
又BC=BD=AD，
∴AD2=AC•DC．

（4）【解析】
∵AD2=AC•DC，=x，AC=AD+CD，
∴AD2=（AD+CD）•CD，
AD2=（AD+x•AD）•x•AD，
x（1+x）=1，
x2+x-1=0，
x=（负值舍去）．
即x=．