Question

（2009•益阳）阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S_△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式．然后根据求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式；
（2）要求三角形CAB的面积，根据题中给出的求三角形面积的求法，那么要先求出水平宽和铅垂高，求铅垂高就要求出C，D两点纵坐标，C点的坐标已知，可用（1）中的一次函数求出D点的纵坐标，那么C，D两点的纵坐标的差的绝对值就是三角形CAB的铅垂高，而水平宽是A点的横坐标，这样可根据题中给出的求三角形的面积的方法得出三角形CAB的面积；
（3）可先根据（2）中三角形CAB的面积得出三角形PAB的面积，三角形PAB中，水平宽是A的横坐标为定值，因此根据三角形PAB的面积可得出此时的铅垂高，然后用抛物线的解析式以及一次函数的解析式，先表示出铅垂高，然后根据由三角形PAB的面积求出的铅垂高可得出关于x的方程，即可得出x的值，然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
设直线AB的解析式为：y2=kx+b
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y2=-x+3；

（2）因为C点坐标为（1，4）
所以当x=1时，y1=4，y2=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=×3×2=3（平方单位）；

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x
由S△PAB=S△CAB
得：×3×（-x2+3x）=×3
化简得：4x2-12x+9=0
解得，x=
将x=代入y1=-x2+2x+3中，
解得P点坐标为（，）．