Question

（2012•定西）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，连接AF．
（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

Answer

（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA．
（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌△OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切．
证明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD
∴，（3分）
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．（5分）

（2）直线AF与⊙O相切．（6分）
证明：连接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，（7分）
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线，
∴=，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切．