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已知:如图,等边△ABC的边长为6,点D、E分别在AB、AC上,且AD=AE=2...

已知:如图,等边△ABC的边长为6,点D、E分别在AB、AC上,且AD=AE=2,直线l过点A,且l∥BC,若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动,设F点运动的时间为t秒,当t>0时,直线DF交l于点G,GE的延长线与BC的延长线交于点H,AB与GH相交于点O.
(1)当t为何值时,AG=AE?
(2)请证明△GFH的面积为定值;
(3)当t为何值时,点F和点C是线段BH的三等分点?

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(1)由GA∥BC可得△ADG∽△BDF,又BF=t,可得AG=,又AG=AE,问题可求. (2)由题意,点D、E的位置不变,AD=AE=2,△GDE∽△GFH,可得的比值不变,即FH的长度不变,△GFH的FH边的高为定值,从而可证明△GFH的面积为定值. (3)点F和点C是线段BH的三等分点,则BF=FC=CH,BF=t,由运动过程,点F有两种可能的位置,即在BC内,在BC外.在BC内时,BF+FC=BC=6,即2t=6;在BC外时,t=2BC=12,问题解决. 【解析】 (1)∵GA∥BC, ∴△ADG∽△BDF, ∴, ∵AB=6,AD=2,∴BD=4, ∴∴AG=, 若AG=AE, ∵AE=AD, ∴有=2, 即t=4s时,AG=AE. (2)∵AD=AE.AB=AC,∠DAE=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC, ∴,∠1=∠B, ∴DE∥BH ∴△GDE∽△GFH, ∴, 又∵l∥BC ∴ ∴BC=FH=6, 又∵△ABC与△GFH高相等.令高为h,则h==, ∴S△GFH==,即△GFH面积为定值. (3)点F和点C是线段BH的三等分点, ①当点F在线段BC内时,则BF=FC=CH,∴BF=BC=3, ∴t=3时,点F和点C是线段BH的三等分点, ②当点F在线段BC的延长线上时,则BC=CF=FH=6, ∴BF=2×6=12 ∴当t=12时,点F,点C是线段BH的三等分点, 综上所述,当t=3s或12s时, 点F,点C是线段BH的三等分点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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