Question

（2003•北京）已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的解析式可知：抛物线的对称轴为x=-2，由此可求出B点的坐标．
（2）可将A点坐标代入抛物线的解析式中，求出a与t的关系式，然后将抛物线中的t用a替换掉，根据这个抛物线的解析式可表示出C点的坐标，然后根据梯形的面积求出a的值，即可得出抛物线的解析式．
（3）可根据E点横坐标与纵坐标的比例关系以及所处的象限设出E点的坐标，然后将它代入抛物线的解析式中即可求出E点的坐标．要使PA+EP最小，根据轴对称图象的性质和两点间线段最短可知：如果去A关于抛物线对称轴的对称点B，连接BE，那么BE与抛物线对称轴的交点就是P点的位置，可先求出直线BE的解析式然后联立抛物线的对称轴方程即可求出P的坐标．
【解析】
（1）依题意，抛物线的对称轴为x=-2，
∵抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），
∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0）．

（2）∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）
∴a（-1）2+4a（-1）+t=0
∴t=3a
∴y=ax2+4ax+3a
∴D（0，3a）
∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上，
∵C（-4，3a）
∴AB=2，CD=4
∵梯形ABCD的面积为9
∴（AB+CD）•OD=9
∴（2+4）•|3a|=9
∴a=±1
∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3．

（3）设点E坐标为（x，y），
依题意，x＜0，y＞0，且
∴y=-x
①设点E在抛物线y=x2+4x+3上，
∴y=x2+4x+3
解方程组
得，
∵点E与点A在对称轴x=-2的同侧
∴点E坐标为（，）．
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P，使△APE的周长最小．
∵AE长为定值，
∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小
∴点A关于对称轴x=-2的对称点是B（-3，0）
∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=-2的交点
设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n
∴，
解得
∴直线BE的解析式为y=x+
∴把x=-2代入上式，得y=
∴点P坐标为（-2，）
②设点E在抛物线y=-x2-4x-3上
∴y=-x2-4x-3，
解方程组
消去y，得
∴△＜0
∴此方程组无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（-2，），使△APE的周长最小．