Question

如图①，△ABC是等边三角形，D、E分别为边BC和AC上的点，且BD=CE，过D作BE的平行线，过E作BC的平行线，它们交于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）试判断△ADF的形状，并说明理由；
（3）若将D、E分别移为边CB的延长线和AC的延长线上的点，其它条件不变（如图②），则△ADF的形状是否改变，说明理由．

Answer

（1）△ABE、△CAD中，已知的条件有：AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°；若求两个三角形全等，只需再证得AE=CD即可，易知AC=BC，而BD=CE，即可得到AE=CD，由此得证；
（2）易证得四边形BDFE是平行四边形，则BE=DF=AD；设AD、BE交于G，则∠ADF=∠BGD；
而∠BGD=∠ABE+∠DAB，由（1）的全等三角形知：∠DAC=∠ABE，故∠BGD=∠DAC+∠DAB=60°，等量代换后，可求得∠ADF=60°，即可得到△ADF是等边三角形的结论．
（3）与（2）的结论相同，解题思路与（1）（2）完全相同．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=AC=BC；
∵BD=CE，
∴AC-CE=BC-BD，∴AE=CD；
又AB=AC，
∴△ABE≌△CAD；（3分）

（2）△ADF是等边三角形，理由如下：（4分）
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°；
∵DF∥BE，EF∥BC，
∴∠1=∠2，四边形BDFE是平行四边形；
∴BE=DF；（5分）
∵△ABE≌△CAD，∴∠4=∠5，BE=AD，∴DF=AD；
∵∠1=∠3+∠4，∴∠2=∠3+∠5=∠BAC=60°；（6分）
∴△ADF是等边三角形；（7分）

（3）△ADF仍是等边三角形，理由如下：（8分）
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAE=∠C=60°，AB=BC；
∴∠ABD=∠BCD=180°-120°；
∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠3，BE=AD；（9分）
∵DF∥BE，EF∥BC，
∴∠1=∠2，四边形BDFE是平行四边形；
∴BE=DF，∴DF=AD；（10分）
∵∠3+∠4=∠ABC=60°，∴∠2+∠4=60°即∠ADF=60°
∴△ADF是等边三角形．（12分）