Question

（2012•启东市模拟）如图的平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．
（1）求OC和OB的长；
（2）抛物线的对称轴l在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交x轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE=m，PM=h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；
（3）连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的解析式，易求得B、C的坐标，即可得到OB、OC的长；
（2）若OE=m，即P、M的横坐标为m，可根据B、C的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据抛物线和直线BC的解析式表示出P、M的纵坐标，即可得到PM的长，即h的表达式，由此可求出h、m的函数关系式，根据函数的性质及自变量的取值范围即可求出PM的最大值；
（3）由于∠PFC和∠BEM都是直角，对应相等，若所求的两个三角形相似，存在两种情况：
①△PFC∽△BEM，②△CFP∽△BEM；
可分别用m表示出BE、EM、CF、PF的长，根据上述两类相似三角形所得的不同比例线段即可求出m的值．
【解析】
（1）对于，
当x=0时，y=4；
当y=0时，，
解得x1=-1，x2=3；（2分）
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）；
∴OC=4，OB=3；（3分）

（2）∵抛物线的对称轴l⊥x轴，在边PE∥l，
∴PE⊥x轴；
∵OE=m，
∴点P的横坐标为m；
∵点P在抛物线上，
∴点P的纵坐标为；
∴PE=；（4分）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=；
在Rt△BME中，
ME=BEtan∠OBC=（OB-OE）•tan∠OBC=（3-m）=4-m；（5分）
∴PM=PE-ME=-4+m=；
∴h与m的函数关系式为h=（0＜m＜3）（6分）
又h=，
∵-＜0，
∴当m=时，h有最大值为3，
∴PM的最大值为3；（8分）

（3）①当m=时，△PFC∽△BEM，此时△PCM为直角三角形（∠PCM为直角）；（10分）
②当m=1时，△CFP∽△BEM，此时△PCM为等腰三角形（PC=CM）．（12分）