Question

（2005•枣庄）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

Answer

（1）解题的关键是作辅助线ME、MN，证明出来△EBA≌△MNF，把需要解决的问题转化成解直角三角形的问题，利用勾股定理解答．
（2）根据（1）的答案，利用二次函数的最值问题即可求出．
【解析】
（1）连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA与Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）2=x2+AM2．
4-4AM+AM2=x2+AM2，即4-4AM=x2，
解得AM=1-x2．（5分）
所以梯形ADNM的面积S=×AD=×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-x2）+x
=-x2+x+2
即所求关系式为s=-x2+x+2．（8分）

（2）s=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+
故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是．