Question

（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；
（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；
（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．
【解析】
（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，
∴4=3+m．（1分）
∴m=1．（2分）
设所求二次函数的关系式为y=a（x-1）2．（3分）
∵点A（3，4）在二次函数y=a（x-1）2的图象上，
∴4=a（3-1）2，
∴a=1．（4分）
∴所求二次函数的关系式为y=（x-1）2．
即y=x2-2x+1．（5分）

（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．
∴PE=h=yP-yE（6分）
=（x+1）-（x2-2x+1）（7分）
=-x2+3x．（8分）
即h=-x2+3x（0＜x＜3）．（9分）

（3）存在．（10分）
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．（11分）
∵点D在直线y=x+1上，
∴点D的坐标为（1，2），
∴-x2+3x=2．
即x2-3x+2=0．（12分）
解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）（13分）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．（14分）
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．（11分）
设直线CE的函数关系式为y=x+b．
∵直线CE经过点C（1，0），
∴0=1+b，
∴b=-1．
∴直线CE的函数关系式为y=x-1．
∴
得x2-3x+2=0．（12分）
解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．