Question

（2009•上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，连接AP．当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S_△APQ表示△APQ的面积，S_△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

Answer

（1）当AD=2时，AD=AB，此时△ABD为等腰直角三角形，易证△BPC也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求；
（2）易知点P到AB的距离与到BC的距离的比与BA、AD长度的比相等，即△APQ中AQ边上的高与△PBC中BC边上的高的比可求；AQ=2-x，BC=3，则△APQ与△BPC的面积可表示出来，利用其面积比为y，可得函数关系式；
（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知条件可证Rt△PCF∽Rt△PQE，则∠EPQ=∠FPC，利用角的和差关系可求得∠QPC=90°．
【解析】
（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°．
当AD=2时，AD=AB，
∴∠D=∠ABD=45°，
∴∠PBC=∠D=45°．
∵，
∴PQ=PC，
∴∠C=∠PQC=45°，
∴∠BPC=90°．
∴PC=BC•sin45°=3×．

（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE．
又∵∠BAD=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴．
设BE=4k，则PE=3k，
∴PF=BE=4k．
∵BQ=x，
∴AQ=AB-BQ=2-x．
∴S△AQP=AQ•PE=（2-x）•3k，S△BPC=BC•PF=×3×4k=6k．
∵，
∴，
即y=-x+．
过D作BC的垂线DM，在直角△DCM中，DC===．
当P在D点时，x最大，则PC=DC=，而，得PQ=，利用勾股定理得到AQ=，所以此时BQ=
∴0≤x≤．

（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE，∠EPF=90°．
又∵∠A=90°，
∴PE∥AD．
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴Rt△PCF∽Rt△PQE，
∴∠EPQ=∠FPC．
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，
∴∠FPC+∠QPF=90°，
即∠QPC=90°．