Question

（2006•南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：
（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：
（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

Answer

（1）AE=CG，要证结论，必证△ABE≌△CBG，由正方形的性质很快确定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即证．
（2）先证△ABE∽△DEH，所以，即可求出函数解析式y=-x2+x，继而求出最值．
（3）要使△BEH∽△BAE，需，又因为△ABE∽△DEH，所以，即，所以当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE．
【解析】
（1）AE=CG．
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4．
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG．
∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°．
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH．
∴．
∴．
∴y=-x2+x
=-（x-）2+
当x=时，y有最大值为．

（3）【解析】
当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中点，
∴AE=．
∴DH=．
又∵△ABE∽△DEH，
∴．
又∵，
∴．
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE．