Question

（2010•肇庆）如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．
求证：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．

Answer

（1）由∠B、∠F同对劣弧AP，可知两角的关系，又因BO=PO，△BOP是等腰三角形，求出∠F=∠BPF，得出结论；
（2）AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，证明∠EAP=∠B，故△ACP∽△FCA；
（3）由∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C，证得三角形相似，列出比例式，可得到等式成立．
证明：（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP，
∴∠B=∠F，
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO，
∴∠F=∠BPF，
∴AF∥BE．

（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°，
∴∠EAP=90°-∠BEA，∠B=90°-∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠F，
又∠C=∠C，
∴△ACP∽△FCA．

（3）∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C．
∴△PCE∽△ACP
∴，
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，
∴△EAP∽△ABP．
∴，
又AC=AB，
∴，
于是有．
∴CP=AE．