Question

（2010•肇庆）已知二次函数y=x²+bx+c+1的图象过点P（2，1）．
（1）求证：c=-2b-4；
（2）求bc的最大值；
（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），△ABP的面积是，求b的值．

Answer

（1）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可证得所求的结论；
（2）将（1）所得的b、c的关系式代入bc中，即可得到关于bc与b的函数关系式，根据函数的性质即可得到bc的最大值；
（3）可根据韦达定理，用b表示出AB的长，进而根据△ABP的面积及P点的纵坐标求出AB的具体值，即可得出关于b的方程，从而求得b的值．
（1）证明：将点P（2，1）代y=x2+bx+c+1，
得：1=22+2b+c+1，（1分）
整理得：c=-2b-4；（2分）

（2）【解析】
∵c=-2b-4，
∴bc=b（-2b-4）=-2（b+1）2+2，（4分）
∴当b=-1时，bc有最大值2；（5分）

（3）【解析】
由题意得：，
∴AB=|x2-x1|=，
即|x2-x1|2=，（6分）
亦即，（7分）
由根与系数关系得：x1+x2=-b，x1•x2=c+1=-2b-4+1=-2b-3，（8分）
代入，
得：，
整理得：，（9分）
解得：b1=-，b2=-．（10分）