Question

（2010•安顺）如图，抛物线y=x²+3与x轴交于点A，点B，与直线y=x+b相交于点B，点C，直线y=x+b与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

Answer

（1）令y=0代入y=x2+3求出点A，B的坐标．把B点坐标代入y=x+b求出BC的解析式．
（2）联立方程组求出B．C的坐标．求出AB，CD的长后可求出三角形ABC的面积．
（3）过N点作NP⊥MB，证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．
【解析】
（1）在y=x2+3中，令y=0
∴x2+3=0
∴x1=2，x2=-2
∴A（-2，0），B（2，0）（2分）
又点B在y=x+b上
∴，
∴BC的解析式为y=x+．（2分）

（2）由，
得，．
∴，B（2，0），（2分）
∴AB=4，，
∴．（2分）

（3）过点N作NP⊥MB于点P
∵EO⊥MB
∴NP∥EO
∴△BNP∽△BEO
∴（1分）
由直线可得：
∴在△BEO中，BO=2，EO=，则BE=
∴，
∴NP=t（1分）
∴S=.t．（4-t）=-t2+t（0＜t＜4）=-（t-2）2+（1分）
∵此抛物线开口向下，
∴当t=2时，S最大=
∴当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．（1分）