Question

（2010•古冶区一模）如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，BC=6，∠B=30°，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：FE是⊙O的切线．
（2）求AB的长．

Answer

（1）连接OE，根据同位角相等，证明EO∥AC，又知EG⊥AC，故能得到EG⊥OE，
（2）过点O作OH⊥BE，在Rt△BOH中解得BH、BE，又知EO∥AC等条件，AB=2BE．
（1）证明：连接OE．（1分）
∵OB=OE，
∴∠B=∠BEO．
∵BC=AC，
∴∠B=∠A，
∴∠BEO=∠A．
∴EO∥AC（4分）
∵EG⊥AC，
∴EG⊥OE．
又点E在⊙O上，
∴FE是⊙O的切线．（5分）

（2）【解析】
过点O作OH⊥BE；（6分）
在Rt△BOH中，OB=3，∠B=30°，
∴cos30°=．
∴BH=．
∴BE=2BH=3．（7分）
∵EO∥AC，OB=OC，
∴BE=AE．
∴AB=2BE=6．（8分）