Question

（2010•河北）在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

Answer

（1）根据等腰直角三角形的判定和性质得出；
（2）过点B作BE∥CA交DO于E，通过证明△AOC≌△BOE，得出AC=BE，∠ACO=∠BEO，从而∠DEB=∠2，则BE=BD，等量代换得出AC=BD．延长AC交DB的延长线于F，根据平行线的性质及已知得出AC⊥BD；
（3）过点B作BE∥CA交DO于E，通过证明△BOE∽△AOC，根据相似三角形的性质得出的值．
（1）【解析】
AO=BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图2，过点B作BE∥CA交DO于E，
则∠ACO=∠BEO．
又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△BOE．
∴AC=BE．
又∵∠1=45°，
∴∠ACO=∠BEO=135°．
∴∠DEB=45°．
∵∠2=45°，
∴BE=BD，∠EBD=90°．
∴AC=BD．
延长AC交DB的延长线于F，如图．
∵BE∥AC，
∴∠AFD=90°．
∴AC⊥BD．

（3）【解析】
如图3，过点B作BE∥CA交DO于E，
则∠BEO=∠ACO．
又∵∠BOE=∠AOC，
∴△BOE∽△AOC．
∴．
又∵OB=kAO，
由（2）的方法易得BE=BD．
∴
答：的值为k．