Question

（2011•承德县一模）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD，连接DE、DC．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）猜想：△DCE是______三角形；并说明理由．

Answer

（1）由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠1=∠B，从而可利用SAS判定△ACE≌△BCD．
（2）根据已知可猜想其为等腰直角三角形，由第一问可得CE=CD，∠3=∠4，根据等角的性质可推出∠ECD=90°，从而即得到了答案．
（1）证明：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠2=45°．
∵AE⊥AB，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠1=45°．
∴∠1=∠B．
在△ACE和△BCD中，
∵
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）猜想：△DCE是等腰直角三角形；
理由说明：
∵△ACE≌△BCD，
∴CE=CD，∠3=∠4．
∵∠4+∠5=90°，
∴∠3+∠5=90°．
即∠ECD=90°．
∴△DCE是等腰直角三角形．