Question

（2010•许昌二模）已知：如图，抛物线y=ax²+ax+c与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用A、C的坐标，即可由待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）首先设出点M的横坐标，即可表示出N点的坐标，进而可求得CN的长，以CN为底，OM为高，可求得△MNC的面积，从而得到关于△NMC和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得△MNC的最大面积及对应的M、N点坐标．
（3）欲求点P的坐标，首先要求出点F的纵坐标，分三种情况：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜边上的高，可据此求得F点的纵坐标为-1，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标；
②OF=FD，过F作x轴的垂线，设垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质可得出E点的坐标，进而可得到AE的长，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出点F的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点P的坐标；
③OD=OF=1，由于O到直线AP的距离为＞1，因此这种情况不成立．
【解析】

（1）由题意，得，（1分）
解得；（2分）
∴所求抛物线的解析式为：y=x2+x-2．（3分）

（2）设点M的坐标为（m，0），则OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
则S△MNC=NC•OM
=（2-2m）•m=-m2+m=-（m-）2+；（7分）
由x2+x-2=0，得x1=-2，x2=1；
∴点B的坐标为（1，0）．（8分）
则0＜m＜1，
∴当m=时，S△MNC有最大值，
此时，点M的坐标为（，0），点N的坐标为（0，-1）．（9分）

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此时，点F的坐标为（-1，-1）；
由x2+x-1=-1，得x1=，x2=；
此时，点P的坐标为：（，-1）或（，-1）；（10分）
②若FO=FD，过点F作FE⊥x轴于点E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE=．
∴F（，-）．
由，得．
此时，点P的坐标为：或．（11分）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=．
∴点O到AC的距离为，而OF=OD=1＜，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：或或或．（12分）