Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3，AD=1，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．①当AB=BE时，CF=    ；②AB=AE时，CF=    ；③EA=EB时，CF=    ．

Answer

平移一腰，根据等腰梯形上下底边的长度及底角度数求出腰长．①当AB=BE时，根据等腰三角形的性质先求出∠BEA的度数，再由平角的定义，等腰梯形的性质及三角形内角和定理求出∠FEC与∠CFE的度数，然后根据等腰三角形的判定得出CF=CE；②当AB=AE时，根据等腰三角形的性质得出∠BEA=∠B=45°，△ABE是等腰直角三角形，求出BE的长，则CE=BC-BE，再证△CEF是等腰直角三角形，从而得出CF=CE；③EA=EB时，先证△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=1，则CE=BC-BE=2，再证点D与点F重合，△CDE是等腰直角三角形，从而得出CF=CE．
【解析】
过点D作DM∥AB交BC于M，得到▱ABDM和等腰△DMC．
∴BM=AD=1，CM=BC-BM=3-1=2．
在△DMC中，∠DMC=∠C=∠B=45°，
∴∠MDC=90°，
∴△MDC是等腰直角三角形．
∴CD=DM=CM=，
∴AB=．

①当AB=BE=时，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=3-；

②当AB=AE=时，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=45°，∠BAE=90°，
∴BE=AB=2，
∴CE=BC-BE=3-2=1．
又∵∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-45°-45°=90°，∠C=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=CE=；

③当EA=EB时，
∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，∠BEA=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE=AB=1．
∵AD=1，∠DAE=90°，∠AED=∠AEF=45°，
∴点D与点F重合．
在△CDE中，∠C=∠CED=45°，CE=BC-BE=3-1=2，
∴CF=CE=．