Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2，以CD为直径作⊙O交AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0）、B（0，）．
（1）求C、D两点坐标；
（2）求证：EF为⊙O′的切线；
（3）写出顶点为C且过点D的抛物线的函数解析式，并判断该抛物线是否过原点．

Answer

（1）连接CE，因为CD是⊙O’的直径，所以CE⊥X轴，根据等腰梯形的性质可知EO=BC=2，CE=BO=，DE=AO=2，所以DO=4，因此C（-2，），D（-4，0）．
（2）连接O’E，在⊙O’中，因为O’D=O’E，所以∠O’DE=∠DEO’，根据等腰梯形的性质可证得O’E∥AB，又因为EF⊥AB，
所以O’E⊥EF．根据切线的判定定理可知EF为⊙O’的切线．
（3）由（1）知C（-2，），D（-4，0），利用二次函数的顶点式可得顶点是C的抛物线的解析式为y=-x2-2x．根据点的意义可把原点坐标（0，0）代入函数关系式看是否满足即可．
【解析】
（1）连接CE，因为CD是⊙O′的直径，
所以CE⊥X轴，
所以在等腰梯形ABCD中，
EO=BC=2，CE=BO=，DE=AO=2，
所以DO=4，
因此C（-2，），D（-4，0）．

（2）连接O′E，在⊙O′中，
因为O′D=O′E，
所以∠O′DE=∠DEO′，
又因为在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD，
所以∠DEO′=∠BAD，
所以O′E∥AB，
又因为EF⊥AB，
所以O′E⊥EF．
又因为E在⊙O′上，
所以EF为⊙O′的切线．

（3）由（1）知，C（-2，），D（-4，0），
y=x（x+2）2+2，
∴0=a（-4+2）2+2，
∴a=-，
可得顶点是C的抛物线的解析式为y=-（x+2）2+2=-x，
∵当x=0时y=0，
∴抛物线y=-x经过O（0，0），即该抛物线过原点．