Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），AB⊥x轴，垂足为点B，连接OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线AB交于点P，抛物线的顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；并求出此时抛物线的解析式．
（3）在②前提下，在直线AB上是否存在点N，使△PMN是等腰三角形？若存在，直接写出满足条件的N点坐标；
（4）探究：当线段PB最短时，在相应的抛物线上是否存在点Q（与P不重合），使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标．

Answer

（1）由于直线OA是正比例函数，根据点A的坐标，即可确定该直线的解析式．
（2）①根据直线OA的解析式，可用m表示出点M的坐标，进而可表示出平移后的抛物线解析式，然后将x=2代入平移后的抛物线解析式中，即可得到点P的坐标；
②点P的纵坐标即可为线段PB的长，可利用配方法求得PB的最小值及对应的m的值，从而确定平移后的抛物线解析式．
（3）根据（2）②的结论，可求得点P、M的坐标，进而可得PM的长，若△PMN是等腰三角形，则有三种情况需要考虑：
①PM=PN，此时将P点坐标向上或向下平移PM个单位即可得到点N的坐标；
②PM=MN，此时点M的纵坐标为P、N纵坐标和的一半，由此可求得点N的坐标；
③PN=MN，此时N在线段PM的垂直平分线上，利用②得到的等腰三角形，可构建相似三角形求出点N的坐标．
（4）若△QMA的面积与△PMA的面积相等，则P、Q到直线OA的距离相等，此题分两种情况讨论：
①过P作平行于OA的直线，易求得此平行线的解析式，联立抛物线的解析式即可求得点Q的坐标；
②在A点的上方截取AD=PA，同①过D作直线OA的平行线，先求出此平行线的解析式，然后联立抛物线的解析式求得点Q的坐标．
【解析】
（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m，2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．（2分）
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．
此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）

（3）由（2）②知：P（2，3），M（1，2）；
则PM=；
①PM=PN=，则N1（2，3+），N2（2，3-）；
②PM=MN，根据等腰三角形三线合一的性质知：N3（2，1）；
③PN=PM，此时∠PMN4=∠N4PM=∠PM3M，则：
△PMN4∽△PN3M，
得：PM2=PN4•PN3，
即：PN4=PM2÷PN3=1，
故N4（1，2）；
综上可知：符合要求的点N的坐标为：
N1（2，3+）；N2（2，3-）；N3（2，1）；N4（1，2）．（4分）

（4）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2，
①过P作直线L∥OA，设直线L：y=2x+h，
又P的横坐标为2，把x=2代入抛物线解析式得：y=3，
则把P的坐标（2，3）代入得：4+h=3，解得：h=-1；
∴直线L：y=2x-1，联立抛物线的解析式有：
，
解得；
此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2，3），故此种情况不成立；
②在点A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；
过D作直线L′∥OA，设直线L′：y=2x+h′，
则有：4+h′=5，h′=1；
∴直线L′：y=2x+1，联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
抛物线上存在点Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）