Question

（2010•哈尔滨）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，点D在线段AC上，点E在线段BC的延长线上．将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′（点D的对应点为点D′，点E的对应点为点E′），连接AD′、BE′，过点C作CN⊥BE′，垂足为N，直线CN交线段AD′于点M，则MN的长为    ．

Answer

将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′，可分为顺时针和逆时针旋转两个图形；先求顺时针旋转的情形，如图作辅助线，先解Rt△BFC，再解△BE′F求BE′，用“面积法”求CN，证明△ACG≌△BCN，△CD'H≌△CE'N，将有关线段转化，可求CM，从而可求MN．
【解析】
如下图，过点B作E'C的垂线交其延长线于F点，过点D'作CM的垂线交CM于H点，过A点作CM的垂线交其延长线于G点．
∵∠ACD'=60°，∠ACB=∠D'CE'=90°，
∴∠BCE′=360°-∠ACD'-∠ACB-∠D'CE'=120°．
∴∠BCF=180°-∠BCE'=60°，
BF=sin∠BCF•BC=×10=，
∴S△BCE'=BF•CE'=．
∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACG=∠CBN
又∵AC=BC，
∴Rt△ACG≌Rt△BCN，
∴AG=CN，CG=BN．
同理△CD′H≌△CE′N，D′H=CN，CH=NE′．
∴M为GH中点，CM=（CG+CH）=（NB+NE′）=BE′．
又∵BF=，∠BCF=60°，
∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，
∴BE'===14，
∴CM=BE'=7．
又∵S△BCE'=CN•BE'，
∴CN=2S△BCE′÷BE'=，
∴MN=CM+CN=7．
同理，当△CDE逆时针旋转60°时，MN如下图中右边所示，MN=7-．