Question

（2008•莆田）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-）

Answer

（1）因为抛物线经过的三点为与两坐标轴的交点，故有两种方法（1）用一般式解答，（2）用交点式（两点式）解答；
（2）找到变化过程中的不变关系：△CDQ∽△CAB，根据相似三角形的性质计算；
（3）因为A、C关于x=对称，所以MQ+MC的最小值即为MQ+MA的最小值，根据两点之间线段最短，A、M、Q共线时MQ+MC可取最小值．
【解析】
（1）解法一：设抛物线的解析式为
y=a（x+3）（x-4）
因为B（0，4）在抛物线上，
所以4=a（0+3）（0-4）
解得a=-
所以抛物线解析式为
y=-（x+3）（x-4）=-x2+x+4
解法二：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
依题意得：c=4且
解得
所以所求的抛物线的解析式为y=-x2+x+4．

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB===5
所以AD=AB=5，AC=AO+CO=3+4=7，CD=AC-AD=7-5=2
因为BD垂直平分PQ，
所以PD=QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，
所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA．∠CDQ=∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB，=
即=，DQ=
所以AP=AD-DP=AD-DQ=5-=，
t=÷1=，
所以t的值是．

（3）答：对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为x=-=
所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线x=对称
连接AQ交直线x=于点M，则MQ+MC的值最小
∵过点Q作QE⊥x轴于E，
∴∠QED=∠BOA=90度
DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO，==
即==
所以QE=，DE=，
所以OE=OD+DE=2+=，
所以Q（，）
设直线AQ的解析式为y=kx+m（k≠0）
则
由此得
所以直线AQ的解析式为y=x+
联立
由此得
所以M（，）
则：在对称轴上存在点M（，），使MQ+MC的值最小．