Question

（2010•黄石）在△ABC中，分别以AB、BC为直径的⊙O₁、⊙O₂，交于另一点D．
（1）证明：交点D必在AC上；
（2）如图甲，当⊙O₁与⊙O₂半径之比为4：3，且DO₂与⊙O₁相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠O₂DB的值；
（3）如图乙，当⊙O₁经过点O₂，AB、DO₂的延长线交于E，且BE=BD时，求∠A的度数．

Answer

（1）由于AB、BC分别是两个圆的直径，根据圆周角定理知∠ADB、∠BDC都是直角，因此A、D、C三点共线，即D必在AC上．
（2）根据等边对等角以及弦切角定理，可证得∠O2BD=∠O2DB=∠A，而∠A+∠ABD=90°，故∠O2B+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，因此△ABC是直角三角形；上面已经证得∠O2DB=∠A，那么它们的正切值相同，已知了两圆的半径比，即可在Rt△ABC中，求出∠A的正切值，由此得解．
（3）连接O1O2，则O1O2是△ABC的中位线，所以AC=2O1O2=AB，即∠ACB=∠ABC；在△BDE中，BD=BE，可设∠O2BD=x，则∠O2DB=∠E=x，而△BDE的外角∠ABD=2x，∠ABC=∠C=3x，在Rt△CBD中，由于∠C与∠DBC互余，由此可求出x的度数，即可得到∠C、∠ABC的度数，根据三角形内角和定理即可求得∠A的度数．
（1）证明：∵AB为⊙O1的直径，
∴∠ADB=90°，同理∠BDC=90°，
∴∠ADC=180°，
∴点D在AC上．

（2）【解析】
如图甲，△ABC是以∠B为直角的直角三角形．理由如下：
连接O1D，O1O2．
∵DO2是⊙O1的切线，O1D是半径，
∴∠O1DO2=90°，
∵O1D=O1B，O2D=O2B，O1O2公共，
∴△O1BO2≌△O1DO2，
∴∠O1BO2=∠O1DO2=90°，
∴△ABC为直角三角形．
又∵BD⊥AC，
∴∠O2DB=∠O2BD=∠A，
∴tan∠O2DB=tan∠A==．

（3）【解析】
如图乙，连接O1O2，则AC=2O1O2=AB；
令∠O2BD=x，则∠O2BD=∠O2DB=x，
∵BD=BE，
∴∠E=x，
∴∠ABD=∠E+∠BDE=2x，∠ACB=∠ABC=3x；
∵BC为⊙O2直径，
∴∠DBC+∠C=4x=90°，
∴∠A=180°-6x=45°．