Question

（2010•黄石）已知抛物线y=x²+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．
（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；
（2）当AB=2，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；
（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．
①当AB=2，且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S（t）的最大值，以及此时点P的坐标；
②当AB=m（正常数）时，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由．

Answer

（1）若AB的中点落在y轴上，那么A、B的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A、B的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c的取值范围；
（2）由于直线AB的斜率为1，当AB=2时，A、B两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x的方程，那么A、B的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b、c的关系式，即可得到c的最小值以及对应的b的值，由此可确定抛物线的解析式；
（3）①在（2）中已经求得了b、c的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y轴，那么c=1，可据此求出b的值；进而可确定抛物线的解析式，过P作PQ∥y轴，交AB于Q，可根据抛物线和直线AB的解析式表示出P、Q的纵坐标，进而可求出PQ的表达式，以PQ为底，A、B横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB的面积，进而可得出关于S（t）和t的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB的最大面积及对应的P点坐标；
②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．
【解析】
（1）由x2+bx+c=x+1，得x2+（b-1）x+c-1=0①．
设交点A（x1，y1），B（x2，y2） （x1＜x2）．
∵AB的中点落在y轴，
∴A，B两点到y轴的距离相等，即A，B两点的横坐标互为相反数，
∴x1+x2=0，
故
∴c＜1；（3分）

（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，
∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴△ABG为等腰直角三角形，
而，
AG==2，
即|x1-x2|=2，
∴（x1+x2）2-4x1x2=4，
由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．
代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，
∴；

（3）①∵．
又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，
把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．
∴这一交点为（0，1）；
∴；
当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：
P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；
∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；
∴S（t）=PQ×AB=-t2+2t=-（t-1）2+1；
当t=1时，S（t）有最大值，且S（t）最大=1，此时P（1，1）；
当b=3时，y=x2+3x+1，同上可求得：
S（t）=PQ×AB=-t2-2t=-（t+1）2+1；
当t=-1时，S（t）有最大值，且S（t）最大=1，此时P（-1，-1）；
故当P点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S（t）最大，且最大值为1；
②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m2，
由题意知：c=1，则有：
（b-1）2=m2，即b=1±m；
当b=1+m时，y=x2+（1+m）x+1，
∴P（t，t2+（1+m）t+1），Q（t，t+1）；
∴PQ=t+1-[t2+（1+m）t+1]=-t2-mt；
∴S（t）=PQ×AB=（-t2-mt）×m=-m（t+）2+m3；
∴当t=-时，S（t）最大=m3，
此时P（-m，--+1）；
当b=1-m时，y=x2+（1-m）x+1，同上可求得：
S（t）=-m（t-）2+m3；
∴当t=m时，S（t）最大=m3，
此时P（m，+m+1）；
故当P（-m，--+1）或（m，+m+1）时，S（t）有最大值，且最大值为m3．