Question

（2010•十堰）如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连接AB并延长交⊙O₂于点C，连接O₂C．
（1）求证：O₂C⊥O₁O₂；
（2）证明：AB•BC=2O₂B•BO₁；
（3）如果AB•BC=12，O₂C=4，求AO₁的长．

Answer

（1）⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，可证O1A⊥AO2，又O2A=O2C，O1A=O1B可证O2C⊥O2B，故可证．
（2）延长O2O1交⊙O1于点D连接AD，可证∠BAD=∠BO2C，又因为∠ABD=∠O2BC，三角形相似，进而证明出结论．
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A，三角形相似，列出比例式，进而求出AO1的长．
（1）证明：∵O1A为⊙O2的切线，
∴∠O1AB+∠BAO2=90°，
又∵AO2=O2C，
∴∠BAO2=∠C，
又∵AO1=BO1，
∴∠O1AB=∠ABO1=∠CBO2，
∴∠CBO2+∠C=90°，
∴∠BO2C=90°，
∴O2C⊥O1O2；

（2）证明：延长O2O1交⊙O1于点D，连接AD．
∵BD是⊙O1直径，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO2C=90°，
∴∠BAD=∠BO2C，
又∵∠ABD=∠O2BC，
∴△O2BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O2B•BD，
又∵BD=2BO1，
∴AB•BC=2O2B•BO1．

（3）【解析】
由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，
又∵∠AO2B=∠DO2A，
∴△AO2B∽△DO2A，
，
∴（AO2）2=O2B•O2D，
∵O2C=O2A，
∴（O2C）2=O2B•O2D①，
又由（2）AB•BC=O2B•BD②，
由①-②得O2C2-AB•BC=O2B2即42-12=O2B2，
∴O2B=2，
又∵O2B•BD=AB•BC=12，
∴BD=6，
∴2AO1=BD=6，
∴AO1=3．