Question

（2010•武汉模拟）如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=BC；
（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：；
（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为______

Answer

（1）BG垂直平分线段AE，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，AB=BE，又AB=BC，所以BE=BC；
（2）标准答案上仅用等腰三角形和直角三角形通过∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB，得出Rt△BPG是等腰直角三角形，进而得到，AM=GN；
（3）先求出BG的长度，根据P为BC的中点，CN=BG，再根据△CNE为等腰直角三角形即可求出CE的长度．
（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分线段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；

（2）证明：连接CN，延长BN交CE于H．
自点D作DM⊥AN于M，

显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，DM=AG=DN，GN=BN，AG+GN=AN=BN+DN；

（3）根据勾股定理，AP===，
∴BG==，
∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，
∴△BPG≌△CNP（AAS），
∴CN=BG，
∴CE=CN=×=．