Question

（2011•甘孜州）抛物线y=a（x+6）²-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE²=3DE．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据已知的抛物线解析式，可求得顶点D的坐标，即可求得DE、OE的长，根据AE2=3DE，可求出AE的值，进而可得到点A的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）设出点P的纵坐标，若以PC为斜边的直角三角形在x轴上只有一个直角顶点，那么以PC为直径的圆与x轴相切，可根据P、C的坐标表示出PC中点Q的坐标和PC的长，令Q的纵坐标等于PC的一半，即可得到关于P点纵坐标的方程，从而求出点P的坐标．
（3）此题比较复杂，需要分两种情况考虑：
①NE=2DE，此时N（-6，6），可设出点M的坐标，然后分别表示出直线MN、直线MD的斜率，若两条直线互相垂直，那么它们的斜率的积为-1，可据此得到关于M点横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式即可得到点M的坐标；
②2NE=DE，方法同①．
【解析】
（1）易知抛物线的顶点D（-6，-3），则DE=3，OE=6；
∵AE2=3DE=9，
∴AE=3，即A（-3，0）；
将A点坐标代入抛物线的解析式中，
得：a（-3+6）2-3=0，
即a=，
即抛物线的解析式为：y=（x+6）2-3=x2+4x+9．

（2）设点P（-6，t），易知C（0，9）；
则PC的中点Q（-3，）；
易知：PC=；
若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：
||=，
解得t=1，
故点P（-6，1），
当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（-3，0），B（-9，0）．
所以P（-6，0），
故点P的坐标为（-6，1）或（-6，0），

（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：
①当NE=2DE时，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），则有：
直线MN的斜率：k1=，直线MD的斜率：k2=；
由于MN⊥DM，则k1•k2==-1，
整理得：a2+b2+12a-3b+18=0…（△），
由抛物线的解析式得：a2+4a+9=b，
整理得：a2+12a-3b+27=0…（□）；
（△）-（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），
将b=3代入（□）得：a=-6+3，a=-6-3，
故点M（-6+3，3）或（-6-3，3）；
②当2NE=DE时，NE=，即N（-6，），已知D（-6，-3），
则有：直线MN的斜率：k1=，直线DM的斜率：k2=；
由题意得：k1•k2==-1，
整理得：a2+b2+b+12a+=0，
而a2+12a-3b+27=0；两式相减，
得：2b2+9b+9=0，
解得b=-2，b=-，（均不符合题意，舍去）；
综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（-6+3，3）或（-6-3，3）．