Question

如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：
①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1：4．
其中正确结论的序号是（ ）

A．①②③
B．①④⑤
C．①③⑤
D．①③④

Answer

若∠BAC=30°，AB=2AC，由于△ABD、△ACE都是等边三角形，显然AD≠AE，而△DBF和△FAE中，∠DBF=∠AFO=60°，易证得∠FAE、∠DFB都是直角，且F是AB中，由此证得两个三角形全等，可得DF=AE，进而可证得△DFG≌△AGE，即AF=2AG，AD=4AG，运用排除法即可得到D选项是正确的．
【解析】
Rt△ABC中，若∠BAC=30°，设BC=2，则AC=2，AB=4；
∴AF=2，AE=2，
∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°，即△FAE是直角三角形，
∴tan∠AEF==，即∠AEF=30°，EF平分∠AEC，
根据等边三角形三线合一的性质知：EF⊥AC，且O是AC的中点；（故③正确）
①∵F是AB的中点，∴AF=BF；
∵∠BAC=30°，
∴∠AFO=90°-∠BAC=60°，即∠DBF=∠AFE=60°；
∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD，
∴△DBF≌△FEA，故①正确；
②在Rt△ABC中，AB＞AC，故AD＞AE，②错误；
④由①得全等三角形知：DF=AE，
又∵∠DFG=∠GAE=90°，∠DGF=∠AGE，
∴△DFG≌△EAG，即AG=GF，
∴AD=2AF=4AG，故④正确；
⑤由④知：G是AF中点，由已知设AB=4，可以求出：EO=3，AO=，
∴S△OEG=OE•（OA）=×3×=；
又S△AGO=•（AB）•AG•sin60°=×1×=，
故△AOG与△EOG的面积比为1：3，⑤错误；
因此正确的结论是①③④，
故选D．