Question

已知，如图1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于点E，过E作CE的垂线交直线AB于点F．
（1）当n=4时，则=______，=______；
（2）当n=2时，求证：BF=AF；
（3）如图2，F点在AB的延长线上，当n=______时，B为AF的中点；如图3，将图形1中的线段AD沿AB翻折，其它条件不变，此时F点在AB的反向延长线上，当n=______时，A为BF的中点．

Answer

（1）根据AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形可求出△ADE∽△ADE，可求出∠ABD=∠DAE，由于AE⊥BD，可求出△ADE∽△BAE，根据相似三角形的性质即可解答；
（2）（3）的思路和解法一致，都是通过一对相似三角形来求解；由于∠AEB=∠CEF=90°，两角加上（或减去）一个同角后，可得∠AEF=∠BEC，而易证得∠EBC=∠ADE=∠BAE，即可得△AEF∽△BEC，然后根据这个相似三角形所得比例线段及已知的线段比例关系，来求得n的值或BF、AF的数量关系．
【解析】
（1）∵AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形，
∴∠AED=∠DAB，∠ADE=∠ADE，
∴△ADE∽△BDA，即∠DAE=∠ABD，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=∠AEB，
∴△ADE∽△BDA，
∵n=4，
∴===，
∴ED=AE，AE=BE，
∴当n=4时，则=，=．

（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠EBC，而∠ADE=∠BAE=90°-∠DAE，
∴∠BAE=∠EBC；
又∵∠AEF=∠BEC=90°+∠BEF，
∴△AEF∽△BEC；
当n=2时，，即AF=BC=AB；
∴BC=2AF，即F是AB的中点，AF=BF．

（3）易知∠F=∠C，∠FEA=∠BEC=90°+∠AEC（图③为90°-∠AEC），
∴△AEF∽△BEC，得：==；
即BC=nAF；
①当B是AF的中点时，AF=2AB=2BC，n=；
②当A是BF中点时，AF=AB=AC，即n=1．