Question

如图，△PBD中，∠DPB=90°，O为PD上一点，以OD为半径作⊙O分别交BD、PD于A、C，连PA，若∠PAC=∠D．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若AD：AB=2：3，求tan∠APC的值．

Answer

（1）由OA=OC，利用等边对等角，可得∠OCA=∠OAC，而∠PAC=∠D，利用等式性质，有∠PAC+∠OAC=∠D+∠OCA，而CD是直径，于是∠CAD=90°，那么∠D+∠OCA=90°，所以∠PAC+∠OAC=90°，即∠OAP=90°，从而可证AP是⊙O的切线；
（2）CD是直径，可得∠CAD=90°，则∠CAM=90°，即∠PAM+∠PAC=90°，又∠BPD=90°，利用三角形内角和定理，可知∠B+∠D=90°，又由已知∠PAC=∠D，利用等角的余角相等，可得∠B=∠PAB，利用等角对等边，可知PA=PB，作PM⊥AB，设AD=2x，AB=3x，利用中点定义有AM=BM=x，又由于∠CAD=∠PMD=90°，根据同位角相等，两直线平行，可得AC∥PM，因此有CD：DP=DA：DM=4：7，若CD=4a，DP=7a，那么OA=OC=2a，CP=3a，则OP=5a，利用勾股定理可求AP=a，从而易求tan∠APC==．
【解析】
（1）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵∠PAC=∠D，
∴∠PAC+∠OAC=∠D+∠OCA，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠D+∠OCA=90°，
∴∠PAC+∠OAC=90°，
即∠OAP=90°，
∴AP是⊙O的直径；

（2）∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠CAM=90°，
∴∠PAM+∠PAC=90°，
又∵∠BPD=90°，
∴∠D+∠B=90°，
又∵∠PAC=∠D，
∴∠B=∠PAB，
∴PA=PB，

作PM⊥AB，设AD=2x，AB=3x，
∴AM=BM=x，
∵∠CAD=∠PMD=90°，
∴AC∥PM，
∴CD：PD=DA：DM=4：7，
∴若CD=4a，DP=7a，那么OC=OA=2a，CP=3a，
∴OP=OC+CP=5a，
∴AP==a，
∴tan∠APC==．