Question

如图△ABC≌△DEC，公共顶点为C，B在DE上，则有结论①∠ACD=∠BCE=∠ABD；②∠DAC+∠DBC=180°；③△ADC∽△BEC；④CD⊥AB，其中成立的是（ ）

A．①②③
B．只有②④
C．只有①和②
D．①②③④

Answer

首先根据全等三角形的性质，看能够得到哪些等角和等边，然后根据这些等量条件来判断各结论是否正确．
【解析】
∵△ABC≌△DEC，且C为公共顶点，
∴∠ABC=∠E，∠ACB=∠BCE，BC=CE；
由∠ACB=∠BCE，得∠ACD=∠BCE=∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
由BC=CE，得∠CBE=∠E，
∴∠ABC=∠CBE=∠E，∠ACD=∠BCE；
又∵∠ABD=180°-∠ABC-∠CBE，∠BCE=180°-∠CBE-∠E，
∴∠ABD=∠BCE=∠ACD，故①正确；
∵△ABC≌△DEC，且C为公共顶点，
∴AC=CD，即∠ACD=180°-2∠ADC；
又∵∠BCE=180°-2∠E，且∠ACD=∠BCE，
∴∠ADC=∠E=∠ABC；
由已知的全等三角形，还可得：∠BAC=∠BDC，
∴∠DAC+∠DBC=∠BAC+∠BAD+∠ABC+∠ABD=∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°；
故②正确；
由②∠DAC+∠DBC=180°知，A、D、B、C四点共圆，
由圆周角定理知：∠ADB=∠ABC=∠E；
结合①②的证明过程知：△ADC、△BEC都是等腰三角形，且它们的底角相等，
故△ADC∽△BEC，③正确；
由于缺少条件，无法证明④的结论一定成立，故④错误；
所以正确的结论为①②③，
故选A．