Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD²=AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB=∠B，CN=BE．①CF=BN；②∠ACB=90°；③FN∥AB；④AD²=DF•DC．则下列结论正确的是（ ）

A．①②④
B．②③④
C．①②③④
D．①③

Answer

根据已知条件可证△ADC∽△CDB，得出∠ACB=90°．根据等量关系及等腰三角形的性质得到CF=BN．根据同位角相等，证明FN∥AB．证明△ADF∽△CDA，根据相似三角形的性质得出AD2=DF•DC．
【解析】
①∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵CD2=AD•DB，∴，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠ACD=∠B，
∴∠ACB=90°，故本选项正确；
②∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠DAF，
∴△CAE∽△DAF，
∴∠AFD=∠AEC，
∴∠CFE=∠AEC，
∴CF=CE，
∵CN=BE，∴CE=BN，
∴CF=BN，故本选项正确；
③∵∠EAB=∠B，
∴EA=EB，
∵FA=FC=BN，∠FEN=∠AEB，
∴△EFN∽△EAB，
∴∠EFN=∠EAB，
∴FN∥AB，故本选项正确；
④易证△ADF∽△CDA，
∴AD2=DF•DC，故本选项正确；
故选C．