Question

如图，已知抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标，已知OC=3OA，即可得到点C的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．
（2）显然PC不可能与CD相等，因此要分两种情况讨论：
①CD=PD，根据抛物线的对称性可知，C点关于抛物线对称轴的对称点满足P点的要求，坐标易求得；
②PD=PC，可设出点P的坐标，然后表示出PC、PD的长，根据它们的等量关系列式求出点P的坐标．
（3）此题要分三种情况讨论：
①点Q是直角顶点，那么点Q必为抛物线对称轴与x轴的交点，由此求得点Q的坐标；
②M、N在x轴上方，且以N为直角顶点时，可设出点N的坐标，根据抛物线的对称性可知MN正好等于抛物线对称轴到N点距离的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，则QN=MN，由此可表示出点N的纵坐标，联立抛物线的解析式，即可得到关于N点横坐标的方程，从而求得点Q的坐标；根据抛物线的对称性知：Q关于抛物线的对称点也符合题意；
③M、N在x轴下方，且以N为直角顶点时，方法同②．
【解析】
（1）由y=ax2-2ax+b可得抛物线对称辆为x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依题意有：，
解得；
∴y=-x2+2x+3．

（2）存在．由C点（0，3）和x=1可得对称点为P（2，3）；
设P2（x，y），
∵CP22=（3-y）2+x2，DP22=（x-1）2+（4-y）2
∴（3-y）2+x2=（x-1）2+（4-y）2
将y=-x2+2x+3代入可得：，
∴；
∴P2（，）．

（3）存在，且Q1（1，0），Q2（2-，0），Q3（2+，0），Q4（-，0），Q5（，0）；
①若Q是直角顶点，由对称性可直接得Q1（1，0）；
②若N是直角顶点，且M、N在x轴上方时；
设Q2（x，y）（x＜1），
∴MN=2Q1O2=2（1-x），
∵△Q2MN为等腰直角三角形；
∴y=2（1-x）即-x2+2x+3=2（1-x）；
∵x＜1，
∴Q2（，0）；
由对称性可得Q3（，0）；
③若N是直角顶点，且M、N在x轴下方时；
同理设Q4（x，y），（x＜1）
∴Q1Q4=1-x，而Q4N=2（Q1Q4），
∵y为负，
∴-y=2（1-x），
∴-（-x2+2x+3）=2（1-x），
∵x＜1，
∴x=-，
∴Q4（，0）；
由对称性可得Q5（+2，0）．