Question

（2010•郴州）如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B'DEC'，B'C'与AB、AC分别交于点M、N．
（1）证明：△ADE∽△ABC；
（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式．当x为何值时y有最大值？

Answer

（1）根据DE∥BC得△ADE∽△ABC；
（2）S梯形MDEN=S△ADE-S△AMN．根据△ADE∽△ABC，△AMN∽△ABC分别用含x的代数式表示S△ADE，S△AMN得y与x的函数关系式，应用函数性质求解．
（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴△ADE∽△ABC．   （2分）

（2）【解析】
∵S△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比为，
∴，所以．    （4分）
∵∠1=∠2，∠1=∠B'MD，∠2=∠B'，
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD．
又B'D=BD，∴MD=BD．
∴AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．    （6分）
同理，△AMN∽△ABC，
∴． （8分）
配方得y=-2（x-4）2+8
∴当x=4时，y有最大值．   （10分）