Question

（2009•三明）已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．
（1）求证：BM=DN；
（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值．

Answer

（1）连接BD，可证明△OBM≌△ODN，则BM=DN；
（2）先证明四边形AMCN是平行四边形，再由翻折得，AM=CM，则四边形AMCN是菱形；
（3）又S△CDN：S△CMN=1：3，可得DN：CM=1：3，设DN=k，则CN=CM=3k，过N作NG⊥MC于点G，则可求出NG和MN，从而求出比值．
（1）证法一：连接BD，则BD过点O，
∵AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODN，
又OB=OD，∠BOM=∠DON，
∴△OBM≌△ODN，
∴BM=DN；

证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，
∴B、D和M、N关于O点中心对称，
∴BM=DN；

（2）证法一：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
又BM=DN，
∴AN=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形；

证法二：由翻折得，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，
又∵∠ANE=∠CND，
∴△ANE≌△CND，
∴AN=CN．
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=MC=CN=NA，
∴四边形AMCN是菱形．

（3）解法一：∵S△CDN=DN•CD，S△CMN=CM•CD，
又S△CDN：S△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
设DN=k，则CN=CM=3k，
过N作NG⊥MC于点G，
则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k，
NG=，
∴MN=，
∴==2；

解法二：∵S△CDN=DN•CD，S△CMN=CM•CD，
又S△CDN：S△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN，
设DN=k，则CN=AN=CM=3k，AD=4k，
CD=，
OC=AC===k，
∴MN=2ON=2=2=2k，
∴==2．