Question

（2010•吉林）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E．DF⊥BC于点F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M，若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm²，设EP=xcm，FQ=ycm．解答下列问题：
（1）直接写出当x=3时y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？
（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．

Answer

（1）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，在图形中找到等量关系SM=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP，代入三角形面积公式、梯形面积公式以及已知条件解答即可；
（2）在图形中找到等量关系SM=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP，代入三角形面积公式、梯形面积公式以及x、y的取值范围解答即可；
（3）若图形M为等腰梯形（如图1），则EP=FQ，即x=-x+5，解得x=；若图形M为等腰三角形，分两种情形：
①当点P、Q、C在一条直线上时（如图2），EP是△BPC的高；
②当点B、P、Q在一条直线上时（如图3），FQ是△BQC的高；
可根据M的值及底边BC的长，分别求出两种情况下的x的值．
（4）通过画图可发现，线段PQ扫过的部分是两个全等的三角形，且都是以x最小时AP的长为底，AD的长为高，在（2）中已经求得x的取值范围为1≤x≤4，所以此时AP=AE-xmin=3，那么线段PQ扫过的面积即为：2S=2××3×1=3，由此得解．
【解析】
（1）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，
∴SM=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP
=BE•xFC•y+•EF
=×2x+×2y+×2
=2（x+y），
把SM=10，x=3代入上式，解得y=2．

（2）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，
∵S△BEP+S梯形PEFQ+S△FCQ=S梯形M，
∴×2x+（x+y）×2+×2y=10，
∴y=-x+5，
由，得1≤x≤4．

（3）若图形M为等腰梯形（如图1），则EP=FQ，即x=-x+5，解得x=．
∴当x=时，图形M为等腰梯形．
若图形M为三角形，分两种情形：
①当点P、Q、C在一条直线上时（如图2），EP是△BPC的高，
∴BC•EP=10，即×6x=10，解得x=；
②当点B、P、Q在一条直线上时（如图3），FQ是△BQC的高，
∴BC•FQ=10，即×6×（-x+5）=10，解得x=；
∴当x=或时，图形M为三角形．

（4）线段PQ扫过的部分是两个全等的三角形，且都是以x最小时AP的长为底，AD的长为高，在（2）中已经求得x的取值范围为1≤x≤4，所以此时AP=AE-xmin=3，那么线段PQ扫过的面积即为：2S=2××3×1=3cm2；
评分说明：（4）中不写单位不扣分，线段PQ在运动过程中所能扫过的区域为图4中阴影部分