Question

（2010•常州）如图在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB＞BC，∠BAC=∠DCE=∠α，点B、C、D在直线l上，按下列要求画图（保留画图痕迹）；
（1）画出点E关于直线l的对称点E′，连接CE′、DE′；
（2）以点C为旋转中心，将（1）中所得△CDE′按逆时针方向旋转，使得CE′与CA重合，得到△CD′E″（A）．画出△CD′E″（A）．解决下面问题：
①线段AB和线段CD′的位置关系是______．
②求∠α的度数．

Answer

（1）从点E向直线l引垂线，并延长相同单位，找到它的对称点E′，连接CE′、DE′；
（2）把CE′逆时针旋转与CA重合，再把CD逆时针旋转相同的角度，得到CD′，连接D′E″得到△CD′E″．
①等量代换利用平行线的判定即可证明是平行．
②利用等腰梯形的性质及三角形的内角和是180度来计算．
【解析】
（1）作图如下：
；

（2）作图如下：
；
画出△CD′E″（A），
①平行，
理由：∵∠DCE=∠DCE′=∠D′CA=∠α，
∴∠BAC=∠D′CA=∠α，
∴AB∥CD′．
②∵四边形ABCD′是等腰梯形，
∴∠ABC=∠D′AB=2∠BAC=2∠α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠α，
在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
解之得∠α=36°．