Question

（2005•山西）矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线y=x与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标．

Answer

（1）已知直线y=x与BC交于点D（x，3），把y=3代入等式可得点D的坐标；
（2）如图抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可；
（3）当S△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点．因为a＜0可推出抛物线顶点恰为最高点；
（4）证明Rt△Q1OM∽Rt△CDO以及Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO后推出CD=Q1Q2=4得出符合条件的坐标．
【解析】
（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．（1分）
把y=3代入y=x中得，x=4，
∴D（4，3）；（3分）

（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，（4分）
得
解之得（5分）
∴抛物线的解析式为y=-x2+x；（6分）

（3）因△POA底边OA=6，
∴当S△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，
∵a=-＜0，
∴抛物线顶点恰为最高点，（7分）
（8分）
∴S△POA的最大值=×6×=；（10分）

（4）抛物线的对称轴与x轴交于点Q1，符合条件．
∵CB∥OA∠Q1OM=∠CDO，
∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO．x=-=3，该点坐标为Q1（3，0）．（11分）
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q2，

∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q2MO=∠DOC，
∴Rt△Q2MO∽Rt△DOC．
在Rt△Q2Q1O和Rt△DCO中
Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC，
∴Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO．
∴CD=Q1Q2=4，
∵点Q2位于第四象限，
∴Q2（3，-4）．（12分）
因此，符合条件的点有两个，分别是Q1（3，0），Q2（3，-4）．（13分）