Question

老师在黑板上写了以下几个算式：5²-3²=8×2；9²-7²=8×4；11²-5²=8×12；15²-3²=8×27；15²-7²=8×22…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字概括反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．

Answer

本题的关键是先从式子的表面奇数平方的差是8的倍数，然后进一步找到关于（2m+1）2-（2n+1）2中m，n同时取奇数或偶数的得到关于8的倍数．
【解析】
（1）写出两个正确的算式；（2分）
72-32=8×5；112-72=8×12；152-72=8×25；152-112=8×18…
92-52=8×9；132-92=8×15；132-52=8×20；172-52=8×35…；

（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3分）

（3）证明：设m，n为整数且m＞n，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则（2m+1）2-（2n+1）2=（2m+1+2n+1）（2m+1-2n-1）=4（m-n）（m+n+1）．（2分）
当m、n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数，
当m、n一奇一偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数．（2分）
所以任意两奇数的平方差是8的倍数．（1分）