Question

（2013•莲湖区一模）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：
（1）通过计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______

Answer

（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；
（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；
（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；
（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．
【解析】
（1）（Ⅰ）连接BD，

∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，
∴BD==cm；
（Ⅱ）如图所示，

∵三个正方形的边长均为5，
∴A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA==5cm，
∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；
（Ⅲ）如图所示，

∵CE⊥AB，AC=BC，
∴CE是过A、B、C三点的圆的直径，
∵OA=OB=OD，
∴O为圆心，
∴⊙O的半径为OA，
OA==5cm，
∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；
（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（5分）

连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，
设OG=x，则OP=10-x，
则有：，（7分）
解得：，（8分）
则ON=，
∴直径为．（9分）