Question

（2008•宜宾）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）求证：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．

Answer

（1）由菱形的性质可得AB=AD，∠B=∠D，又知BE=DF，所以利用SAS判定△ABE≌△ADF从而得到AE=AF；
（2）连接AC，由已知可知△ABC为等边三角形，已知E是BC的中点，则∠BAE=∠DAF=30°，即∠EAF=60°．因为AE=AF，所以△AEF为等边三角形．
证明：（1）由菱形ABCD可知：
AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；（4分）

（2）连接AC，
∵菱形ABCD，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BAD=120°，（2分）
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一的性质），
∴∠BAE=30°，同理∠DAF=30°，（2分）
∴∠EAF=60°，由（1）可知AE=AF，
∴△AEF为等边三角形（2分）．