Question

（2009•陕西）问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．

Answer

（1）因为正方形的对角线互相垂直，所以连接AC、BD交于点O，O即为所求；
（2）①以AB为边在正方形内作等边△ABP；②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．因为在圆O中，弦AB所对的上的圆周角均为60°，所以上的所有点均为所求的点P；
（3）因为∠APB=∠CP'D=60°，△APB和△CP′D的面积最大，所以同（2）：
①连接AC；
②以AB为边作等边△ABE；
③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；
④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求．
要求△APB的面积．可过点B作BG⊥AC，交AC于点G．
因为在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，利用勾股定理可求AC=5，利用三角形的面积可求BG=，又因在Rt△ABG中，AB=4，所以利用勾股定理可求出AG的值，然后在Rt△BPG中，因为∠BPA=60°，所以PG=，而AP=AG+PG，S△APB=AP•BG，即可求出答案．
【解析】
（1）如图①，连接AC、BD交于点P，
则∠APB=90度．∴点P为所求．（3分）

（2）如图②，画法如下：
①以AB为边在正方形内作等边△ABP；
②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．
∵在圆O中，弦AB所对的上的圆周角均为60°，
∴上的所有点均为所求的点P．（7分）

（3）如图③，画法如下：
①连接AC；
②以AB为边作等边△ABE；
③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；
④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求．（9分）
（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）
过点B作BG⊥AC，交AC于点G．
∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3．
∴AC==5．
∴BG=．（10分）
在Rt△ABG中，AB=4，
∴AG=．在Rt△BPG中，∠BPA=60°，
∴PG=．
∴AP=AG+PG=．
∴S△APB=AP•BG=．（12分）