Question

（2009•江西）如图，已知线段AB=2a（a＞0），M是AB的中点，直线l₁⊥AB于点A，直线l₂⊥AB于点M，点P是l₁左侧一点，P到l₁的距离为b（a＜b＜2a）．
（1）作出点P关于l₁的对称点P₁，并在PP₁上取一点P₂，使点P₂、P₁关于l₂对称；
（2）PP₂与AB有何位置关系和数量关系，请说明理由．

Answer

P，P1关于l1对称，那么PP1⊥l1，ab⊥l1，那么PP1∥AB，即PP2∥AB．∵∠O1O2M=∠O2MA=∠O1AM=∠AO1O2=90°，四边形O1O2MA是矩形，那么AM=O1O2=AB=a，P，P1关于l1对称，P，P2关于l2对称，那么PO1=O1O1=b，然后用a，b分别表示出P2O1，再得出PP2是多少，然后再判定PP2和AB的大小关系．
【解析】
（1）如图；

（2）PP2与AB平行且相等．
证明：设PP1分别交l1、l2于点O1、O2，
∵P、P1关于l1对称，点P2在PP1上，
∴PP2⊥l1
又∵AB⊥l1
∴PP2∥AB
∵l1⊥AB，l2⊥AB
∴l1∥l2
∴四边形O1AMO2是矩形
∴O1O2=AM=a
∴P、P1关于l1对称，P1O1=PO1=b
∵P1、P2关于l2对称
∴P2O2=P1O2=P1O1-O1O2=b-a
∴PP2=PP1-P1P2=PP1-2P2O2=2b-2（b-a）=2a
∴PP2AB．