Question

（2009•温州）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙O相切于点A′（△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分），延长FA′交CD边于点G，求A′G的长．

Answer

作FS⊥CD于点S点，由于点O是正方形的中心，正方形是中心对称图形，则AF=CG，先证明△AFE≌△FA′E，有FA=FA′；再根据四边形ADSF是矩形，设AF=A′F=DS=CG=x，利用勾股定理得[2（2+x）]2=（8-2x）2+82，解方程得x=，所以A′G=FG-FA′=．
【解析】
如图，作FS⊥CD于点S，则AF=CG，
∵△AFE≌△A′FE，
∴FA=FA′，
∵四边形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS；
设AF=x，则A′F=DS=CG=x，GS=8-2x，FO=FA′+OA′=2+x，FG=2（2+x）；
∵FG2=GS2+FS2
∴[2（2+x）]2=（8-2x）2+82，
解得x=，
∴A′G=FG-FA′=2（2+x）-x=．