Question

（2010•崇川区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O，
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径长．

Answer

（1）连接OD，由角的等量关系证明OD∥AC，证明∠C=∠ODB=90°；
（2）在Rt△ABC中，解得AB，由三角形相似列出关系式解得半径．
【解析】
（1）直线BC与⊙O相切．（1分）
理由：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，（2分）
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AC．（4分）
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°．即OD⊥BC．
∴BC为⊙O的切线（6分）

（2）在Rt△ABC中，tanB=，
∴=．
∵AC=3，
∴BC=4，
∴AB==5．（8分）
又∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴
∵OD=AO=r，
∴BO=5-r，
∴（11分）
解得r=．（12分）